Question

(2006全國Ⅱ，21)已知拋物線的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．

(1)證明：為定值；

(2)設△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0． 設，．由， 即得， 將①式兩邊平方并把， 代入得，　　　　　　③ 解②、③式得，，且有． 拋物線方程為．求導得． 所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是， ，即，． 解出兩條切線的交點M的坐標為． 所以， ， 所以為定值，其值為0． (2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而． ． 因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y=－1的距離，所以 ． 于是， 由，知S≥4， 且當λ=1時，S取得最小值4．