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【題目】已知點為圓 是圓上的動點,線段的垂直平分線交于點.

(1)求點的軌跡的方程;

2)設 過點的直線與曲線交于點(異于點),過點的直線與曲線交于點,直線傾斜角互補.

①直線的斜率是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由;

②設的面積之和為,求的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(1)本問考查曲線軌跡方程的求法,畫出圖形分析可有, ,于是點的軌跡是以點為焦點,焦距為,長軸為的橢圓,可求出方程;(2①本問考查直線與橢圓的位置關系,由于直線傾斜角互補,所以斜率互為相反數,設的方程為,與橢圓方程聯立,消元,得到關于x的一元二次方程,根據韋達定理可以求出點M的坐標,設的方程為,同理可以求出點N的坐標,于是可以求出直線MN的斜率,并判斷是否為定值;②由于直線MN的斜率為定值,所以設直線的方程為,與橢圓方程聯立,求出弦長,再分別求點AB到直線MN的距離,于是可以得到的面積之和為,再討論求出取值范圍.

試題解析:1由題意.

∴點的軌跡是以點為焦點,焦距為,長軸為的橢圓,

所以

所以點的軌跡方程是

2的方程為, 聯立方程,得

與橢圓除外的另一個交點,則

代入的方程得,所以

因為傾斜角互補,所以的方程為

聯立方程組,得

與橢圓除外的另一個交點,則

代入的方程得,所以

∴直線的斜率為.

②設直線的方程為,聯立方程,得,

,設,則

.

分別為點到直線的距離, 則

時, ,

時, ,

時,

的取值范圍為.

練習冊系列答案
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學生編號

1

2

3

4

5

6

語文成績

60

70

74

90

94

110

歷史成績

58

63

75

79

81

88

(1)若規定語文成績不低于90分為優秀,歷史成績不低于80分為優秀,以頻率作概率,分別估計該班語文、歷史成績優秀的人數;

(2)用上表數據畫出散點圖易發現歷史成績與語文成績具有較強的線性相關關系,求的線性回歸方程(系數精確到0.1).

參考公式:回歸直線方程是,其中

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(Ⅰ)求圓的標準方程;

(Ⅱ)直線過點且與圓有兩個不同的交點 ,若直線的斜率大于0,求的取值范圍;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否存在直線使得弦的垂直平分線過點,若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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