Question

【題目】已知點為圓， ， 是圓上的動點，線段的垂直平分線交于點.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設， ，過點的直線與曲線交于點（異于點），過點的直線與曲線交于點，直線與傾斜角互補.

①直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；

②設與的面積之和為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問考查曲線軌跡方程的求法，畫出圖形分析可有， ，于是點的軌跡是以點為焦點，焦距為，長軸為的橢圓，可求出方程；（2）①本問考查直線與橢圓的位置關系，由于直線與傾斜角互補，所以斜率互為相反數，設的方程為，與橢圓方程聯立，消元，得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理可以求出點M的坐標，設的方程為，同理可以求出點N的坐標，于是可以求出直線MN的斜率，并判斷是否為定值；②由于直線MN的斜率為定值，所以設直線的方程為，與橢圓方程聯立，求出弦長，再分別求點A，B到直線MN的距離，于是可以得到與的面積之和為，再討論求出取值范圍.

試題解析：（1）由題意.

∴點的軌跡是以點為焦點，焦距為，長軸為的橢圓，

所以，

所以點的軌跡方程是

（2）①設的方程為， 聯立方程，得

，

設與橢圓除外的另一個交點，則， ，

代入的方程得，所以，

因為傾斜角互補，所以的方程為，

聯立方程組，得，

設與橢圓除外的另一個交點，則， ，

代入的方程得，所以，

∴直線的斜率為.

②設直線的方程為,聯立方程，得,

由得，設，則，

∴.

設分別為點到直線的距離, 則

，

當時， ,

當時， ,

當時， ，

∴的取值范圍為.