Question

在橢圓+=1內有一點M（4，-1），使過點M的弦AB的中點正好為點M，求弦AB所在的直線的方程．

Answer 1

解：由題意，直線的斜率存在
設直線的斜率為k，則方程為y+1=k（x-4），與橢圓+=1聯立，
消去y得（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0，
∴x₁+x₂=
∵M是弦AB的中點，
∴=8，解得k=1，
此時方程（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0的判別式大于0，從而直線AB與橢圓有兩個交點，k=1符合題意．
∴AB的方程是x-y-5=0．
分析：假設直線AB的方程與橢圓方程聯立，消去y得x的方程，利用M是弦AB的中點，建立方程，可求得k的值，驗證此時方程的判別式大于0，從而得解．
點評：本題考查的重點是橢圓中弦中點問題，解題的關鍵是假設方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理求解．