Question

【題目】已知點在拋物線：的準線上，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，.

（1）證明：為定值；

（2）當點在軸上時，過點作直線，交拋物線于，兩點，滿足.問：直線是否恒過定點，若存在定點，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）直線過定點 .

【解析】

(1) 求導，求得直線PA的方程，將P代入直線方程，求得，同理可知．則，是方程x2﹣2ax﹣4＝0的兩個根，則由韋達定理求得的值，即可求證為定值；

(2) 設，.利用點差法可得，同理可得，

結合垂直關系可得，又因為，兩式作差，可得，，從而可得結果.

解：（1）法1：拋物線：的準線為：，故可設點，

由，得，所以.所以直線的斜率為.

因為點和在拋物線上，所以，.

所以直線的方程為.

因為點在直線上，

所以，即.

同理，.

所以，是方程的兩個根，所以.

又，所以為定值.

法2：設過點且與拋物線相切的切線方程為，

由，消去得，

由，化簡得，所以.

由，得，所以.

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

所以，即.

又，

所以為定值.

（2）存在，由（1）知.

不妨設，則，，即，.

設，.

則，兩式作差，可得，

所以直線的斜率為，同理可得，

因為，所以，

整理得，①

又因為，兩式作差，可得，

從而可得直線的斜率為，

所以直線的方程為，

化簡可得，

將①代入上式得，

整理得.

所以直線過定點，即點的坐標為.