Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱與底面垂直，AB=AC=1，AA1=2，且P，Q，M分別是BB1 ， CC1 ， B1C1的中點，AB⊥AQ．

（1）求證：AB⊥AC；
（2）求證：AQ∥平面A1PM；
（3）求AQ與平面BCC1B1所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A1A⊥面ABC，而AB面ABC，∴AB⊥A1A，

又∵AB⊥AQ，

∴AB⊥面ACC1A1，

又∵AC面ACC1A1，

∴AB⊥AC

（2）證明：取BC的中點G，連接AG、QG、BC1，

∵P、M分別是BB1、B1C1的中點，

∴MP∥BC1，

同理：QG∥BC1，

∴QG∥MP，

又∵M為B1C1的中點，G為BC中點，

∴A1M∥AG，

又∵QG∥MP，

∴面APQ∥面A1PM，

∴AQ∥平面A1PM

（3）解：取BC的中點G，連接AG、DG，

∵AB=AC=1，

∴AG⊥BC，

又∵AG⊥BB1，

∴AG⊥面BCC1B1，

故∠AQG為直線AQ與平面BCC1B1所成角，

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC=1，則BC= 且AG= ，

在Rt△AQG中，AG= ，GQ= = ，

則tan∠AQG= = ，

則∠AQG=30°．

【解析】（1）由于三棱柱中側棱與底面垂直，分析可得AB⊥A1A，又由題干條件AB⊥AQ，由線面垂直的判定定理即可得證明；（2）取BC的中點G，連接AG、QG、BC1 ， 由中位線的性質可得可得MP∥BC1與QG∥BC1 ， 進而可得QG∥MP，分析可得A1M∥AG，由面面平行的判定方法可得面APQ∥面A1PM，進而結合面面平行的性質可得證明；（3）取BC的中點G，連接AG、DG，分析易得AG⊥面BCC1B1 ， 進而由線面角的定義可得∠AQG為直線AQ與平面BCC1B1所成角；在△ABC中分析可得BC= AG= ，進而在Rt△AQG中，計算可得AG= ，GQ= = ，由正切的定義可得tan∠AQG= = ，計算即可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．