Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，公差d＞0，前n項和為S_n且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．對于數(shù)列{b_n}，其通項公式，如果數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列．
（1）求非零常數(shù)C的值；　　　
（2）試求函數(shù)（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}為等差數(shù)列，∴a₃+a₄=22…（1分）
由a₃•a₄=117，a₃+a₄=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的兩個根
又d＞0
∴a₃=9，a₄=13 …（2分）
∴d=4，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3 …（3分）
∴…（4分）
∴
∵數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列
∴2b₂=b₁+b₃…（6分）
解得：或0（舍）
當時，b_n=2n滿足題意． …（7分）
（2）∵
當且僅當即n=6時取等號．
∴f（n）的最大值為． …（14分）
分析：（1）根據(jù){a_n}為等差數(shù)列，及a₃•a₄=117，a₂+a₅=22知a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的兩個根，結(jié)合d＞0，可得a₃=9，a₄=13，從而可求a_n=4n-3，進一步可得通項公式，利用數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列，即可求得非零常數(shù)C的值；
（2），利用基本不等式，即可求f（n）的最大值．
點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查運用基本不等式，求函數(shù)的最值，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．