Question

已知函數f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）證明f（x）為奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義加以證明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據已知中函數的解析式，可得函數的定義域為R關于原點對稱，分析f（x）與f（-x）的關系，結合函數奇偶性的定義，可判斷出f（x）的奇偶性；
（2）在R中任取x₁＜x₂，利用指數的運算性質分析f（x₁）與f（x₂）的大小，進而根據函數單調性質的定義，可判斷f（x）的單調性；
（3）利用分離常數法，將函數的解析式化為f(x)=1-

2

3x+1

的形式，結合指數函數的性質，利用分析法，可得到函數f（x）的值域．

解答：證明：（1）函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

3x+1

=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數；
（2）函數f（x）在R上單調遞增，理由如下：
在R中任取x₁＜x₂，
則3x1-3x2＜0，3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1-1

3x1+1

-

3x2-1

3x2+1

=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在R上單調遞增
（3）∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
∴0＜

2

3x+1

＜2
∴-2＜-

2

3x+1

＜0
∴-1＜1-

2

3x+1

＜1
故f（x）的值域為（-1，1）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性的判斷與證明，函數單調性的判斷與證明，函數的值域，是函數圖象和性質是簡單綜合應用，難度中檔發．