Question

1．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，若將其圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到的圖象關于原點對稱，則函數f（x）的圖象（　　）

• A． 關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱
• B． 關于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱
• C． 關于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱
• D． 關于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱

Answer 1

分析 根據三角函數的性質求出函數的解析式進行求解即可．

解答 解：∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
將其圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
若此時函數關于原點對稱，
則φ+$\frac{π}{3}$=kπ，即φ=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當k=0時，φ=-$\frac{π}{3}$．
即f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
由2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
解得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
故當k=0時，函數的對稱軸為x=$\frac{5π}{12}$，
故選：B．

點評 本題主要考查三角函數解析式的求解以及三角函數的性質的應用，根據條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵．