Question

設a∈R，f（x）=x³-x²-x+a，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個公共點，實數a的取值范圍是

(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：要使函數f（x）=x³-x²-x+a的圖象與直線x軸只有一個公共點，只需利用函數的最大值或最小值與0進行比較，由于實數a的值不確定，故要分類討論．

解答：解：求一階導數可得f'（x）=3x²-2x-1，
兩個極值點分別在x=1、x=-

1

3

，
代入函數，得f（1）=a-1，f（-

1

3

）=a+

5

27

，
當a-1＞0時，f（1）＞0，得出a＞1，
當a+

5

27

＜0時，f（-

1

3

）＜0，得出a＜-

5

27

，
則曲線y=f（x）與x軸有且只有一個公共點，實數a的取值范圍為：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)，
故答案為：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．