Question

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）滿足f(-

π

3

)=f(0)，當x∈[

π

4

，

11π

24

]時，則f（x）的值域為（　　）

• A、[1，2]
• B、[

  2

  ，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，2]
• D、[

  2

  ，2]

Answer 1

分析：f（x）解析式第一項利用單項式乘以多項式法則計算，第二項利用誘導公式化簡，整理后根據f（-

π

3

）=f（0），求出a的值，代入f（x）并利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出值域．

解答：解：f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x=

a

2

sin2x-cos2x，
∵f（-

π

3

）=f（0），即

a

2

sin（-

2π

3

）-cos（-

2π

3

）=-1，
即-

3 a

4

+

1

2

=-1，
解得：a=2

3

，
∴f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∵

π

4

≤x≤

11π

24

，
∴

π

3

≤2x-

π

6

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤2sin（2x-

π

6

）≤1，
即

2

≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
則f（x）的值域為[

2

，2]．
故選D

點評：此題考查了同角三角函數間基本關系的運用，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．