Question

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2(

π

2

-x)，滿足f(-

π

3

)=f(0)．
（1）求f（x）的最大值及此時x取值的集合；
（2）求f（x）的增區間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡 f（x）的解析式為

1

2

asin2x-cos2x，由f(-

π

3

)=f(0)解得a的值，即得f（x）=
2sin（2x-

π

6

），由此求得f（x）的最大值及取最大值時x的集合．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得x的范圍，即可得到函數f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）由f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2(

π

2

-x)=

1

2

asin2x-cos2x，且滿足f(-

π

3

)=f(0)，
可得

1

2

a(-

3

2

)-（-

1

2

 ）=-1，解得a=2

3

．
從而得到 f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．
當2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z 時，sin（2x-

π

6

）=1．
故f（x）=2sin（2x-

π

6

）的最大值為2，且取最大值時，x的集合為 {x|x=kπ+

π

3

，k∈z}．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的最值以及單調性，屬于中檔題．