Question

己知等比數列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，且S₁，S₃，S₂成等差數列．
（I）求公比q；
（Ⅱ）若，，問數列{T_n}是否存在最大項？若存在，求出該項的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴a₂=a₁q，．
∴S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，．
又∵S₁，S₃，S₂成等差數列，
∴2S₃=S₁+S₂，∴2（a₁+a₁q+）=a₁+（a₁+a₁q），
∵a₁≠0，∴2（1+q+q²）=2+q，∴2q²+q=0，
又∵q≠0，∴．
（Ⅱ）∵，q=，
∴=，
∴==，
∴==，
∵2ⁿ⁺¹-2≥2，
∴T_n≤T₁=．
所以數列{T_n}的最大值為．
分析：（Ⅰ）本題先根據等比數列的通項公式得a₂=a₁q，a₃=a₁q²；進而由前n項和的意義可表示出S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，S₃=a₁+a₁q+，再利用等差數列的意義可得2S₃=S₁+S₂，于是 2（a₁+a₁q+）=a₁+（a₁+a₁q），由此方程不難求出公比q=；
（Ⅱ）由等比數列的通項公式=，于是==，進而可求出==，再根據指數函數的單調性求出其最大值．
點評：本題要求學生熟練掌握等差數列、等比數列的通項公式及前n項和公式，并進行有關計算．同時會根據指數函數類型的單調性求最值．