Question

（2012•浙江模擬）己知等比數列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n，且S₁，S₃，S₂成等差數列．
（I）求公比q；
（Ⅱ）若a1=-

1

2

，Tn=a2a4…a2n，，問數列{T_n}是否存在最大項？若存在，求出該項的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題先根據等比數列的通項公式得a₂=a₁q，a₃=a₁q²；進而由前n項和的意義可表示出S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，S₃=a₁+a₁q+a1q2，再利用等差數列的意義可得2S₃=S₁+S₂，于是 2（a₁+a₁q+a1q2）=a₁+（a₁+a₁q），由此方程不難求出公比q=-

1

2

；
（Ⅱ）由等比數列的通項公式an=(-

1

2

)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n，于是a2n=(-

1

2

)2n=(

1

2

)2n，進而可求出Tn=(

1

2

)21+22+…+2n=(

1

2

)

2×(2n-1)

2-1

=(

1

2

)2n+1-2，再根據指數函數的單調性求出其最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵an=a1qn-1，∴a₂=a₁q，a3=a1q2．
∴S₁=a₁，S₂=a₁+a₁q，S3=a1+a1q+a1q2．
又∵S₁，S₃，S₂成等差數列，
∴2S₃=S₁+S₂，∴2（a₁+a₁q+a1q2）=a₁+（a₁+a₁q），
∵a₁≠0，∴2（1+q+q²）=2+q，∴2q²+q=0，
又∵q≠0，∴q=-

1

2

．
（Ⅱ）∵a1=-

1

2

，q=-

1

2

，
∴an=(-

1

2

)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n，
∴a2n=(-

1

2

)2n=(

1

2

)2n，
∴Tn=(

1

2

)21+22+…+2n=(

1

2

)

2×(2n-1)

2-1

=(

1

2

)2n+1-2，
∵2ⁿ⁺¹-2≥2，
∴T_n≤T₁=(

1

2

)2=

1

4

．
所以數列{T_n}的最大值為T1=

1

4

．

點評：本題要求學生熟練掌握等差數列、等比數列的通項公式及前n項和公式，并進行有關計算．同時會根據指數函數類型的單調性求最值．