Question

（本題滿分15分）在數列中，，當時，滿足．

（Ⅰ）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）令，數列的前項和為，求使得對所有都成立的實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）滿足題意的實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求證：數列是等差數列，只需證明等于一個與無關的常數，由已知，，只需將式子整理得，，兩邊同除以即可，求數列的通項公式，因為數列是以為首項，為公差的等差數列，可寫出數列的通項公式，從而可得數列的通項公式； （Ⅱ）求使得對所有都成立的實數的取值范圍，將式子整理為，只需求出的最大值，須求出的解析式，首先求出數列的通項公式，由，可用拆項相消法求得的解析式，進而可得實數的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ），兩邊同除以得，即數列是等差數列，首項，公差；

（Ⅱ）

由題意即對于所有都成立，

設 即函數在上是減函數，在上是增函數，故數列從第二項起遞減，而，滿足題意的實數的取值范圍為.

考點：等差數列的判斷，求數列的通項公式.