Question

（本小題滿分14分）已知數列滿足，（）.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足（），證明：數列是等差數列；
（Ⅲ）證明：（）.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析。

試題分析：（1）構造等比數列的思想得到數列的通項公式的求解。
（2）在第一問的基礎上表述出bn的關系式，利用整體的思想得到證明。
（3）結合數列的放縮的思想，對于通項公式放縮得到求和的放縮結論。
解：（Ⅰ）因為，所以.               （2分）
所以數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列.                 （3分）
所以，.                                    （4分）
（Ⅱ）因為，所以.   （5分）
即  ①                             （6分）
所以  ②             （7分）
②-①得：，即  ③    （8分）
所以  ④                                  （9分）
④-③得，即.                  （10分）
所以數列{b_n}是等差數列.
（Ⅲ）因為，                      （12分）
設，
則                （13分）
所以.                               （14分）
點評：解決該試題的關鍵是構造等比數列的思想得到數列an的通項公式，進而為求解bn得到突破口，表示出bn的值，來得到證明。