Question

18．已知函數f（x）=|x-2|+2|x+1|的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）若a、b、c∈R，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$+c²=m，求c（a+b）的最大值．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍：x≤-1，-1＜x≤2，x＞2，去掉絕對值，寫出分段函數的形式，畫出圖象即可求得m值；
（2）把m值代入$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$+c²=m，變形后利用基本不等式求c（a+b）的最大值．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-1}\\{x+4，-1＜x≤2}\\{3x，x＞2}\end{array}\right.$，其圖象如圖：

∴m=（f（x））_min=3；
（2）由$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$+c²=m=3，得a²+b²+2c²=6．
∴c（a+b）=ac+bc≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}+\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}+^{2}+2{c}^{2}}{2}=\frac{6}{2}=3$．
當且僅當a=b=c時上式“=”成立．
故c（a+b）的最大值為3．

點評 本題考查分段函數的圖象和性質，考查最值的求法，注意運用圖象和基本不等式，考查變形和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．