Question

復數z=（a-cosθ）+（

3

a-sinθ）i．若對一切θ∈R，|z|≤3恒成立，則實數a的取值范圍為

[-2，2]

．

Answer 1

分析：由|z|≤3恒成立，知(a-cosθ)2+(

3

a-sinθ)2≤9，整理，得a（cosθ+

3

sinθ）≥2a²-4，所2asin(θ+

π

6

)≥2a2-4，故|a|≥a²-2，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：∵z=（a-cosθ）+（

3

a-sinθ）i．對一切θ∈R，|z|≤3恒成立，
∴(a-cosθ)2+(

3

a-sinθ)2≤9，
整理，得a（cosθ+

3

sinθ）≥2a²-4，
∴2asin(θ+

π

6

)≥2a2-4，
∴|a|≥a²-2，
∴|a|≤2，
-2≤a≤2．
故答案為：[-2，2]．

點評：本題考查復數的模的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數的性質的靈活運用．本題的易錯點是忽視復數模的性質導致出錯．