Question

【題目】正三棱錐，為中點， ，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據題中數據，結合正棱錐的結構特征，得到兩兩垂直，可將正三棱錐看作正方體的一角，設正方體的體對角線的中點為，得到點是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，過球心的截面圓面積最大；再求出，根據球的結構特征可得，當垂直于過的截面時，截面圓面積最小，結合題中數據，即可求出結果.

因為正三棱錐，，，

所以，即，同理，，

因此正三棱錐可看作正方體的一角，如圖，

記正方體的體對角線的中點為，由正方體結構特征可得，點即是正方體的外接球球心，

所以點也是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，

則，

因為球的最大截面圓為過球心的圓，

所以過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積最大為；

又為中點，由正方體結構特征可得；

由球的結構特征可知，當垂直于過的截面時，截面圓半徑最小為，

所以.

因此，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為.

故選：D.