Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) 只有一個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）求導(dǎo)，對a分類比較與3的大小，求得及的解集，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）可知，的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為

得到f(x)的極大值為f(1) <0,，極小值為f(3)<0，又, 得到在上只有一個(gè)零點(diǎn).從而得到函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

（1）

當(dāng) 即，，

所以的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為，

當(dāng) 即 ，或，

所以的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為，

當(dāng) ，，所以的單增區(qū)間為（0，）.

綜上所述：當(dāng)0<a<時(shí)，所以的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為，

當(dāng) ，的單增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，所以的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為

（2）當(dāng)時(shí)，，，所以由（1）可知，的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為

所以f(x)的極大值為f(1)=-1<0,，極小值為f(3)<0，

當(dāng)時(shí), 所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，只有一個(gè)零點(diǎn).