Question

過點（0，3）作直線l，若l與曲線x²-y²=4只有一個公共點，這樣的直線l共有（　　）

A．一條

B．二條

C．三條

D．四條

Answer 1

分析：先設出直線l的方程，代入雙曲線方程，消y，得到關于x的方程，若為一元一次方程，則直線l與雙曲線相交有一個交點，若為一元二次方程，判別式△等于0，則直線與雙曲線相切，有一個切點，求出滿足這兩種情況的k值，即可得到可能的直線條數．

解答：解：∵點（0，3）在y軸上，∴直線l斜率存在．
設直線l的方程為y=kx+3，代入曲線x²-y²=4中，得，
（1-k²）x²-6kx-13=0，
當1-k²=0，即k=1或-1時，直線l與曲線x²-y²=4相交，有一個交點
當1-k²≠0，△=（6k）²+4×13（1-k²）=0，即k=±

13

2

時，直線l與曲線x²-y²=4相切，有一個公共點．
∴曲線x²-y²=4只有一個公共點的直線l共有4條
故選D

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線有一個公共點的情況的判斷，不要丟掉相交有一個交點的情況．