Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若

a

=（x，y+2），

b

=（x，y-2），且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)

OP

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線l的方程，不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

a

=(x，y+2)，

b

=(x，y-2)，且|

a

|+|

b

|=8．所以動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的距離的和為8．由此能求出動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程．
（2）若直線l是y軸，則A、B是橢圓的頂點(diǎn)．

OP

=

OA

+

OB

=

0

，所以O(shè)與P重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+3 x2 12 + y2 16 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．由韋達(dá)定理x1+x2=-

18k

4+3k2

，x1x2=-

21

4+3k2

．因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

OP

=

OA

+

OB

，所以O(shè)APB是平行四邊形．由此能夠?qū)С龃嬖谥本�l：y=±

5

4

x+3，使得四邊形OAPB為矩形．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

a

=(x，y+2)，

b

=(x，y-2)，且|

a

|+|

b

|=8．
所以動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的距離的和為8．
所以軌跡C以F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）為焦點(diǎn)的橢圓，
方程為

x2

12

+

y2

16

=1．
（2）為直線l過(guò)點(diǎn)（0，3）．
若直線l是y軸，則A、B是橢圓的頂點(diǎn)．

OP

=

OA

+

OB

=

0

，
所以O(shè)與P重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．
所以直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+3 x2 12 + y2 16 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，
由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．
由韋達(dá)定理x1+x2=-

18k

4+3k2

，x1x2=-

21

4+3k2

．
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

OP

=

OA

+

OB

，
所以O(shè)APB是平行四邊形．
若存在直線l，使得四邊形OAPB為矩形，
則OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，
所以（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
所以(1+k2)(-

21

4+3k2

)+3k(-

18k

4+3k2

)+9=0
機(jī)k2=

5

16

，k=±

5

4

，
故存在直線l：y=±

5

4

x+3，使得四邊形OAPB為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容易出錯(cuò)．