Question

已知直線l：y=2x與拋物線C：y=

1

4

x²交于A（x_A，y_A）、O（0，0）兩點，過點O與直線l垂直的直線交拋物線C于點B（x_A，y_B）．如圖所示．
（1）求拋物線C的焦點坐標；
（2）求經過A、B兩點的直線與y軸交點M的坐標；
（3）過拋物線x²=2py的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點A、B的直線AB是否恒過定點，如果是，指出此定點，并證明你的結論；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線C：y=

1

4

x²的方程化為x²=4y，即可得到2p=4，進而得到焦點．
（2）分別聯立方程組

y=2x y= 1 4 x2

，

y=- 1 2 x y= 1 4 x2

，即可解得點A，B坐標．再利用點斜式即可得出．
（3）結論：過拋物線x²=2py的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點的直線AB恒過定點（0，2p）．證明時類比（2）可得，設過拋物線x²=2py的頂點的一條直線為y=kx （k≠0），則另一條為y=-

1

k

x，分別聯立方程組

y=kx x2=kx

，聯立方程組

y=- 1 k x x2=2py

，解得點A，B坐標．再利用點斜式即可得出．

解答：解：（1）拋物線C：y=

1

4

x²的方程化為x²=4y，
∴2p=4，p=2．
∴拋物線C的焦點坐標為（0，1）．
（2）聯立方程組

y=2x y= 1 4 x2

，解得點A坐標為（8，16）．
聯立方程組

y=- 1 2 x y= 1 4 x2

，解得點B坐標為（-2，1）．
∴直線AB的方程為y-1=

16-1

8-(-2)

(x+2)，即3x-2y+8=0．
令x=0，解得y=4．
∴點M的坐標為（0，4）．
（3）結論：過拋物線x²=2py的頂點任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點的直線AB恒過定點（0，2p）．
證明如下：
設過拋物線x²=2py的頂點的一條直線為y=kx （k≠0），則另一條為y=-

1

k

x
聯立方程組

y=kx x2=kx

，解得點A坐標為（2pk，2pk²）．
聯立方程組

y=- 1 k x x2=2py

，解得點B坐標為(-

2p

k

，

2p

k2

)．
∴直線AB的方程為y-

2p

k2

=

2pk2- 2p k2

2pk-(- 2p k )

(x+

2p

k

)，
令x=0，解得y=2p．
∴直線AB恒過定點（0，2p）．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、過頂點的兩條相互垂直的直線分別與拋物線相交的交點的直線過定點問題，考查了類比推理能力和計算能力，屬于難題．