Question

18．若過點p（1，$\sqrt{3}$）作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A、B兩點，則|AB|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據題意畫出相應的圖形，由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，確定出|OA|與|OB|的長，由切線的性質得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，且切線長相等，由P與O的坐標，利用兩點間的距離公式求出|OP|的長，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的長，同時得到∠APO=30°，確定出三角形APB為等邊三角形，由等邊三角形的邊長相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的長．

解答 解：由圓的方程x²+y²=1，得到圓心O（0，0），半徑r=1，
∴|OA|=|OB|=1，
∵PA、PB分別為圓的切線，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，|PA|=|PB|，OP為∠APB的平分線，
∵P（1，$\sqrt{3}$），O（0，0），
∴|OP|=2，
在Rt△AOP中，根據勾股定理得：|AP|=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∵|OA|=$\frac{1}{2}$|OP|，∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
則|AB|=|AP|=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由d與r的大小關系確定，當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交（d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑）．