Question

【題目】五面體中，是等腰梯形，，，，，平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1) 連接，取中點為，則,可得為平行四邊形，為等邊三角形，，，由題意平面平面，且交線為，平面，又，，可得結論；

（2）以為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內，過點且與垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知. 可得，，.平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，求的值后用公式，可得答案.

解：（1）連接，取中點為，則，

為平行四邊形，

，.

為等邊三角形，，

.

,

平面平面，且交線為，

平面，

.

又，

平面.

（2）以為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內，過點且與垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知.

則，，.

由（1）知，平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，

則

取，得，

，

結合圖形可知二面角的余弦值為.