Question

【題目】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．

（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐PABC的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據已知可得，進而有≌，可得

，即，從而證得平面，即可證得結論；

（2）將已知條件轉化為母線和底面半徑的關系，進而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結論.

（1）連接，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，

在上，，

是圓內接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）設圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側面積為，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱錐的體積為.