Question

旅行社為某旅游團包飛機去旅游，其中旅游社的包機費為15000元，旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結算；若旅游團的人數在30人或30人以下，飛機票每張收費900元；若旅游團的人數多于30人，則給予優惠，每多1人，機票費每張減少10元，但旅游團的人數最多有75人．設旅游團的人數為x人，每張飛機票價為y元，旅行社可獲得的利潤為W元．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）寫出W與x之間的函數關系式；
（3）當旅游團的人數為多少時，旅行社可獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？

Answer 1

解：（1）當0≤x≤30時，y=900；
當30＜x≤75時，y=900-10（x-30）=-10x+1200．
（2）當0≤x≤30時，W=900x-15000；
當30＜x≤75時，W=（-10x+1200）x-15000=-10x²+1200x-15000．
（3）當0≤x≤30時，W=900x-15000隨x的增大而增大，
所以，當x=30時，W_最大=900×30-15000=12000（元）；
當30＜x≤75時，W=-10x²+1200x-15000=-10（x-60）²+21000，
∵-10＜0，∴當x=60時，W_最大=21000（元）；
∵21000＞12000，
∴當x=60時，W_最大=21000（元）．
答：旅游團的人數為60人時，旅行社可獲得的利潤最大，最大利潤為21000元．
分析：（1）根據自變量x的取值范圍，分0≤x≤30或30＜x≤75列出函數解析式即可；
（2）利用所有人的費用減去包機費就是旅行社可獲得的利潤，結合（1）中自變量的取值范圍解答即可；
（3）利用（2）中的函數解析式，先對x的值進行分類討論：當0≤x≤30時；當30＜x≤75時，分段求出函數的最大值，進一步結合自變量的取值范圍得出原函數的最大值即可解決問題．
點評：此題主要考查利用基本數量關系求出二次函數解析式，運用配方法求二次函數的最值，以及考查學生對實際問題分析解答能力．