Question

10．已知：f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時有極值0．
（1）求：常數a、b的值；
（2）求：f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）已知函數f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=1處有極值0，即f（-1）=0，f′（-1）=0，通過求導函數，再代入列方程組，即可解得a、b的值；
（2）分別解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函數f（x）的單調增區間與單調遞減區間．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax+b，（a＞1），
函數f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處有極值0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=0，
∴-1+3a-b+a²=0，3-6a+b=0，
解得a=2，b=9．
（2）f（x）=x³+6x²+9x+4，
∴f′（x）=3x²+12x+9，
∴由f′（x）=3x²+12x+9＞0得x∈（-∞，-3）或（-1，+∞），
由f′（x）=3x²+12x+9＜0得x∈（-3，-1），
∴函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-3），（-1，+∞），減區間為：（-3，-1）．

點評 本題考查導數在求函數極值中的應用，利用導數求函數的單調區間，屬于中檔題．