Question

18．數列{a_n}中，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}，{a_1}=2$，則 a₂₀=$\frac{2}{115}$．

Answer 1

分析 利用數列的遞推關系式求出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數列，求出通項公式，然后求解a₂₀的值．

解答 解：數列{a_n}中，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+3{a_n}}}，{a_1}=2$，
可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數列，以$\frac{1}{2}$為首項，3為公差的等差數列．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+$3（n-1），可得a_n=$\frac{2}{6n-5}$，
∴a₂₀=$\frac{2}{115}$．
故答案為：$\frac{2}{115}$

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，通項公式的求法，考查計算能力．