Question

已知橢圓的中心為坐標原點,一個長軸端點為,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．

（1）求橢圓方程；

（2）求m的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）

解析:

【解題思路】通過，溝通A、B兩點的坐標關系，再利用判別式和根與系數關系得到一個關于m的不等式。

（1）由題意可知橢圓為焦點在軸上的橢圓，可設

由條件知且，又有，解得

故橢圓的離心率為，其標準方程為： 

（2）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易驗證k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）   

【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能