Question

【題目】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

（1）若袋中所裝的個球中有個所標的面值為元，其余個均為元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望；

（2）商場對獎勵總額的預算是元，并規定袋中的個球只能由標有面值為元和元的兩種球組成，或標有面值元和元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.請對袋中的個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）40；（2）選擇方案（20,20,40,40）.

【解析】

試題（1）（ⅰ）摸出2個球共有種方法，由題意得摸出2個球中一個為面值為50元，另一個為10元的，所以有種方法，所求概率為；（ⅱ）先確定隨機變量取法：20,60.再分別求對應概率，列表得分布列，最后根據公式求數學期望（2）根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以數學期望為60元.因此只能有兩個方案：（10,10,50,50），（20,20,40,40），這兩個方案的數學期望皆為60，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，即方差要盡可能小，計算兩者方差得選擇方案（20,20,40,40）.

試題解析：（1）設顧客所獲的獎勵額為X，

（ⅰ）依題意，得P（X＝60）＝＝，

即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.

（ⅱ）依題意，得X的所有可能取值為20,60.

P（X＝60）＝，P（X＝20）＝＝，

即X的分布列為

X	20	60
P

所以顧客所獲的獎勵額的期望為

E（X）＝20×＋60×＝40（元）．

（2）根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10,10,10,50）的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇（50,50,50,10）的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是（10,10,50,50），記為方案1.

對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20）的方案，所以可能的方案是（20,20,40,40），記為方案2.

以下是對兩個方案的

對于方案1，即方案（10,10,50,50），設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為

X1	20	60	100
P

X1的期望為E（X1）＝20×＋60×＋100×＝60，

X1的方差為D（X1）＝（20－60）2×＋（60－60）2×＋（100－60）2×＝.

對于方案2，即方案（20,20,40,40），設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為

X2	40	60	80
P

X2的期望為E（X2）＝40×＋60×＋80×＝60，

X2的方差為D（X2）＝（40－60）2×＋（60－60）2×＋（80－60）2×＝.

由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.