Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設

m

=（1，1），

n

=（-cosA，sinA），記f（A）=

m

•

n

．
（1）求f（A）的取值范圍；
（2）若

m

與

n

的夾角為

π

4

，C=

π

3

，c=

6

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由條件利用兩個向量的數量及公示求得f（A）=

m

•

n

=

2

sin（A-

π

4

）．再根據A的范圍，結合正弦函數的定義域和值域求得f（A）的取值范圍．
（2）根據

m

與

n

的夾角為

π

4

，求得A的值，再根據C=

π

3

，求得B的值，再利用正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

求得b的值．

解答：解：（1）∵

m

=（1，1），

n

=（-cosA，sinA），
∴f（A）=

m

•

n

=-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

）．
∵0＜A＜π，∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，∴-

2

2

＜sin（A-

π

4

）≤1，
則f（A）的取值范圍是（-1，

2

]．
（2）∵

m

與

n

的夾角為

π

4

，

m

=（1，1），

n

=（-cosA，sinA），
∴

m

•

n

=|

m

|×|

n

|×cos

π

4

=

2

2

，即-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

）=

2

2

，
∴sin（A-

π

4

）=

1

2

，∴A-

π

4

=

π

6

，或

5π

6

（舍去），∴A=

5π

12

．
∵C=

π

3

，∴B=

π

4

，∵sinB=

2

2

，sinC=

3

2

，c=

6

，
∴由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：b=

csinB

sinC

=

6 × 2 2

3 2

=2．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，正弦函數的定義域和值域，正弦定理的應用，屬于中檔題．