Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，任作平面a與對角線AC′垂直，使得a與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則（　�。�

• A、S為定值，l不為定值
• B、S不為定值，l為定值
• C、S與l均為定值
• D、S與l均不為定值

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：將正方體切去兩個正三棱錐A-A′BD與C′-D′B′C后，得到一個以平行平面A′BD與D′B′C為上、下底面的幾何體V，V的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側面沿棱A′B′剪開，展平在一張平面上，得到一個?A′B′B₁A₁，考查E′的位置，確定S，l．

解答： 解：將正方體切去兩個正三棱錐A-A′BD與C′-D′B′C后，得到一個以平行平面A′BD與D′B′C為上、下底面的幾何體V，V的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側面沿棱A′B′剪開，展平在一張平面上，得到一個?A′B′B₁A₁，如圖
而多邊形W的周界展開后便成為一條與A′A₁平行的線段（如圖中E′E₁），顯然E′E₁=A′A₁，故l為定值．
 當E′位于A′B′中點時，多邊形W為正六邊形，而當E′移至A′處時，W為正三角形，易知周長為定值l的正六邊形與正三角形面積分別為

3

24

l2與

3

36

l2，故S不為定值．
故選B．

點評：本題考查了利用平面幾何的知識解決立體幾何，考查學生的空間想象能力，屬于難題．