Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導函數，已知函數y=f′（x）的圖象如圖所示．若正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則

a+2

b+2

的取值范圍是（　　）

• A．（

  1

  3

  ，2）
• B．（-∞，

  1

  2

  ）∪（3，+∞）
• C．（

  1

  2

  ，3）
• D．（-∞，3）

Answer 1

分析：先根據導函數的圖象判斷原函數的單調性，從而確定a、b的范圍得到答案

解答：解：由圖可知，當x＞0時，導函數f'（x）＞0，原函數單調遞增
∵兩正數a，b滿足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，∴b＜4-2a，0＜a＜2
∴

b+2

a+2

＜

4-2a+2

a+2

=

10-(2a+4)

a+2

=-2+

10

a+2

∵0＜a＜2，∴

1

2

＜-2+

10

a+2

＜3，
從而

1

3

＜

a+2

b+2

＜2
故選A．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減