Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公比是正數的等比數列{b_n}的前n項和為T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）若數列{c_n}滿足a₁c₁+a₂c₂+…+a_n-1c_n-1+a_nc_n=n（n+1）（n+2）+1（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和W_n．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，依題意，列出關于q、d的方程組，解之即可求得{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）由a_n=n知，c₁+2c₂+3c₃+…+nc_n=n（n+1）（n+2）+1，n≥2時，c₁+2c₂+3c₃+…+（n-1）c_n-1=（n-1）n（n+1）+1，二式相減可求得c_n=3n+3（n≥2），再求得c₁，即可求得數列{c_n}的前n項和W_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，
∵a₁=1，b₁=3，由a₂+b₂=8，得1+d+3q=8，①
由T₃-S₃=15得3（q²+q+1）-（3+3d）=15②
由①②得：

3q+d=7 q2+q-3d=5

消去d得q²+4q-12=0，
∴q=2或q=-6，又q＞0，
∴q=2，代入①得d=1．
∴a_n=n，b_n=3•2^n-1．
（2）∵a_n=n，
∴c₁+2c₂+3c₃+…+nc_n=n（n+1）（n+2）+1①
當n≥2時，c₁+2c₂+3c₃+…+（n-1）c_n-1=（n-1）n（n+1）+1②
由①-②得：
nc_n=3n（n+1），
∴c_n=3n+3（n≥2）．
又由（1）得c₁=7，
∴c_n=

3n+3(n≥2) 7(n=1)

．
∴數列{a_n}的前n項和W_n=7+9+12+…+3n+3=1+

6+3n+3

2

•n=

3n2+9n

2

+1．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式及等差數列的求和公式的綜合應用，屬于難題．