Question

已知函數f（x）和g（x）的圖象關于原點對稱，且f（x）=x²+2x．若函數h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據已知條件可求得g（x）=-x²+2x，所以h（x）=（-1-λ）x²+（2-2λ）x+1，λ=-1時，h（x）=4x+1，在[-1，1]上是增函數；λ≠-1時，根據二次函數的單調性即可求得λ的范圍，合并λ=-1即得λ的取值范圍．

解答： 解：根據已知條件知，g（-x）=-f（x）=-x²-2x=-（-x）²+2（-x）；
∴g（x）=-x²+2x；
∴h（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）+1=（-1-λ）x²+（2-2λ）x+1；
即h（x）=（-1-λ）x²+（2-2λ）x+1；
①若λ=-1，h（x）=4x+1，滿足在[-1，1]上是增函數；
②若λ≠-1，h（x）是二次函數，對稱軸為x=

1-λ

1+λ

；
∴

-1-λ＞0 1-λ 1+λ ≤-1

，或

-1-λ＜0 1-λ 1+λ ≥1

；
解得λ＜-1，或-1＜λ≤0；
綜上得實數λ的取值范圍為（-∞，0]．

點評：考查根據原點對稱的點的坐標的特點，以及一次函數、二次函數的單調性，二次函數的對稱軸．