Question

已知冪函數(shù)y=xⁿ（n=-1，2，3）和橢圓C：=1（a＞b＞0）有8個不同的交點，分別為A_i（i=1，2，…，8），F(xiàn)點是橢圓C的右焦點，則8條不同線段A_iF（i=1，2，…，8）中所有兩條線段之和最多有（ ）個不同的值．
A．28
B．25
C．24
D．20

Answer 1

【答案】分析：先作出圖象，根據(jù)組合知識可得8條線段中所有兩條線段之和有的值，根據(jù)橢圓及冪函數(shù)的對稱性可得F′A₁=FA₆，F(xiàn)′A₂=FA₅，F(xiàn)′A₃=FA₇，F(xiàn)′A₄=FA₈，由此可得重復值的個數(shù)．
解答：解：作出圖象如圖所示：
易知y=x²關于y軸對稱，y=x^-1，y=x³關于原點對稱，
再由橢圓的對稱性可知，點A₁與A₆、點A₃與A₇、A₄與A₈關于原點對稱，
點A₂與A₅關于y軸對稱，
設橢圓的左焦點為F′，則F′A₁=FA₆，F(xiàn)′A₂=FA₅，F(xiàn)′A₃=FA₇，F(xiàn)′A₄=FA₈，
所以FA₁+FA₆=FA₁+F′A₁=2a，F(xiàn)A₂+FA₅=FA₂+F′A₂=2a，F(xiàn)A₃+FA₇=FA₃+F′A₃=2a，F(xiàn)A₄+FA₈=FA₄+F′A₄=2a，
所以8條不同線段A_iF（i=1，2，…，8）中所有兩條線段之和最多有
=25個不同的值，
故選B．
點評：本題考查橢圓的對稱性、定義及冪函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結合思想，考查學生分析解決問題的能力．