Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數，a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n²+S_n•a_n，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＞2n-．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知a₁=a，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），由此可知a_n=a•a_n-1，，所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
（Ⅱ）由題意知a≠1，，，由此可解得．
（Ⅲ）證明：由題意知，所以=，由此可知T_n＞2n-．
解答：解：（Ⅰ）S₁=a（S₁-a₁+1）
∴a₁=a，．（1分）
當n≥2時，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1），
兩式相減得：a_n=a•a_n-1，
（a≠0，n≥2）即{a_n}是等比數列．
∴a_n=a•a^n-1=aⁿ；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1，
，，
若{b_n}為等比數列，則有b₂²=b₁b₃，
而b₁=2a²，b₂=a³（2a+1），b₃=a⁴（2a²+a+1）（6分）
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），解得，（7分）
再將a=代入得bn=（）ⁿ成立，所以a=．（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，
所以==（10分）
所以
T_n=c₁+c₂++c_n+（2-）
=（12分）
點評：本題考查數列知識的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．