Question

如圖，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，

 

（1）求證：MN//平面PAD；

（2）求證：MN⊥AB；

（3）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為θ，試確定θ的值，使得直線MN是異面直線AB與PC的公垂線.

Answer 1

證明：（1）取PD中點E，連接NE、AE，則四邊形MNEA是平行四邊形，

∴MN∥AE.∴MN∥平面PAD.

（2）連結AC、BD,兩者交于O，連結OM、ON，因為ON∥PA，所以ON⊥平面ABCD.

因為OM⊥AB，由三垂線定理,知MN⊥AB.

（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC內的射影，CD⊥AD,

∴CD⊥PD.∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.

當θ=45°時，AE⊥PD，AE⊥CD，

∴AE⊥面PCD.

∵MN∥AE,∴MN⊥面PCD.

∵PC面PCD，∴MN⊥PC.

又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB與PC的公垂線.