Question

如圖，ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，DE=a，P為AB的中點．
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求證：AE∥平面BCF．

Answer 1

分析：（1）證明平面PCF內的直線PC，垂直平面PDE內的兩條相交直線DE，PD，就證明了平面PCF⊥平面PDE；
（2）作FC中點M，連接EM、BM，證明平面BCF內的直線BM與平面外的直線AE平行，即可根據線面平行的判定定理得到答案．

解答：證明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=2

2

a…（1分）
又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC…（3分）
因為CF⊥平面ABCD，則PD⊥CF…（5分）
由PC∩CF=C可得PD⊥平面PFC…（6分）
故平面PCF⊥平面PDE…（7分）
（2）作FC中點M，連接EM、BM
由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四邊形DEMC為平行四邊形
故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四邊形AEMB為平行四邊形故AE∥BM…（12分）
又AE?平面BCF，BM?平面BCF，所以AE∥平面BCF．…（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，以及線面平行的判定定理，考查邏輯思維能力，推理能力，轉化思想，是中檔題．