Question

如圖5-2，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比.現有制箱材料60平方米.問當a、b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A、B孔的面積忽略不計)

Answer 1

解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=，

其中k＞0為比例系數，依題意，即所求的a、b值使y值最小.?

根據題設，有4b+2ab+2a=60 (a＞0，b＞0）

得b=（0＜a＜30）①

 

于是y=

 

當a+2=時取等號，y達到最小值.

這時a=6, a=-10(舍去)將a=6代入①式得b=3

故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.?

 

解法二：

依題意，即所求的a、b值使ab最大.?

由題設知4b+2ab+2a=60 (a＞0，b＞0）?

即a+2b+ab=30 (a＞0，b＞0）?

∵a+2b≥2∴2＋ab≤30

當且僅當a=2b時，上式取等號.

由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18

即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18.?

∴2b²＝18．解得b=3,a=6.?

故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.?

 

評述：本題考查綜合應用所學數學知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查函數關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識.考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力.