Question

（本題滿分16分） 已知函數.

（Ⅰ）若不等式的解集為，，求的取值范圍；

（Ⅱ）若為整數，，且函數在上恰有一個零點，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數對任意的x∈，有恒成立，求實數的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）（2，+∞）（Ⅱ）（Ⅲ）1.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本題為線性規劃求范圍問題，先列出可行域：由題知，以a為x軸，b為y軸建立直角坐標系，由圖可知直線過點取最小值2，（Ⅱ）本題先分一次函數與二次函數討論：時，f(x)=－2x+1,零點為，不合，舍去；時，∵ ∴ ，，∴函數必有兩個零點，再根據零點存在定理列函數在上恰有一個零點的充要條件：，又，∴ （Ⅲ）先化簡不等式：對任意的x∈恒成立，即，令t(x)= ，則，

，在（1，+∞）上單調增，

∴t(x) = 在（1，+∞）單調增，,從而實數的最小值為1.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由題知

∈（2，+∞）

（Ⅱ）時，f(x)=－2x+1,零點為，不合，舍去；

時，∵ ∴ ，，

∴函數必有兩個零點，

又函數在上恰有一個零點，∴

，又，∴

（Ⅲ），， 整理得

令H(x)= ，，

在（1，+∞）上單調增，又，>0,

∴H(x) = 在（1，+∞）單調增，，k≥1,k的最小值為1.

考點：函數零點，不等式恒成立