Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c若2acosB=c，則-1+2cos2

A

2

+sinB的取值范圍是  （　　）

• A．[-

  2

  ，

  2

  ]
• B．(-1 ，

  2

  ]
• C．(1 ，

  2

  ]
• D．[1 ，

  2

  ]

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosB，代入已知的等式化簡，可得出a=b，根據等邊對等角可得A=B，然后把所求式子的第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，將其中的A換為B，提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由2acosB=c分離出cosB，根據a與c都大于0，可得出cosB大于0，再由B為三角形的內角，得出B的范圍，進而得到這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到此時正弦函數的值域，即可得到所求式子的取值范圍．

解答：解：由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
代入2acosB=c得：a²+c²-b²=c²，即a²=b²，
可得：a=b，即A=B，
則1+2cos2

A

2

+sinB=cosA+sinB=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

），
∵2acosB=c，即cosB=

c

2a

＞0，
∴B∈（0，

π

2

），
∴B+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1，即1＜sin（B+

π

4

）≤

2

，
則-1+2cos2

A

2

+sinB的取值范圍是（1，

2

]．
故選C

點評：此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，余弦函數的圖象與性質，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．