Question

已知函數f（x）=．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的定義域關于坐標原點對稱，試討論它的奇偶性和單調性；
（3）在（2）的條件下，記f^-1（x）為f（x）的反函數，若關于x的方程f^-1（x）=5k•2^x-5k有解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數的定義域，即真數大于零，解含參數的不等式；
（2）利用定義域關于原點對稱，求出a的值；然后再看f（x）與 f（-x）的關系，確定函數的奇偶性；
（3）求出函數的反函數，分離參數，轉化為求函數的值域．
解答：解：（1），
所以當a＞0時，定義域為（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）
當a＜0時，定義域為（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
當a=0時，定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）（4分）
（2）函數f（x）的定義域關于坐標原點對稱，
當且僅當-2a-1=-（3a-1）?a=2，
此時，．（6分）
對于定義域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）內任意x，-x∈D，
，所以f（x）為奇函數；（8分）
當x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）內單調遞減；
由于f（x）為奇函數，所以在（-∞，-5）內單調遞減；（10分）
（3），x≠0  （12分）
方程f^-1（x）=5k?2^x-5k即，令2^x=t，則t＞0且t≠1，得，
又，所以當k＞0，f^-1（x）=5k?2^x-5k解．（14分）
點評：考查了分類討論的思想方法，換元的思想方法；函數奇偶性的判定；特別注意換元后，新變量的取值范圍，屬難題．