Question

已知函數g（x）=asinx+bcosx+c
（1）當b=0時，求g（x）的值域；
（2）當a=1，c=0時，函數g（x）的圖象關于對稱，求函數y=bsinx+acosx的對稱軸．
（3）若g（x）圖象上有一個最低點，如果圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，又知f（x）=3的所有正根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，且x_n-x_n-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）當b=0時，函數g（x）=asinx+c．
當a=0時，值域為：{c}．
當a≠0時，值域為：[c-|a|，c+|a|]．
（2）當a=1，c=0時，
∵g（x）=sinx+bcosx 且圖象關于x=對稱，
∴||=，∴b=-．
∴函數 y=bsinx+acosx 即：y=-sinx+cosx= cos（x+）．
由 x+=kπ，k∈z，可得函數的對稱軸為：x=kπ-，k∈z．
（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+∅）+c，其中，sin∅=，cos∅=．
由g（x）圖象上有一個最低點 （，1），所以 ，
∴，
∴g（x）=（c-1）sin（x-）+c．
又圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，則f（x）=（c-1）sinx+c．
又∵f（x）=3的所有正根從小到大依次為 x₁、x₂、x₃…x_n、…，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），
所以y=f（x）與直線y=3的相鄰交點間的距離相等，根據三角函數的圖象與性質，直線y=3要么過f（x）的最高點或最低點，要么是y=，
即：2c-1=3或 1-c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3．
當c=2時，函數的 f（x）=sin+2，T=6．
直線 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期為3（矛盾）．
當c=3時，函數 f（x）=2sin+3，T=6．
直線直線 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期為6（滿足條件）．
綜上：f（x）=2sin+2．
分析：（1）當b=0時，函數g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0兩種情況，分別求出函數g（x）的值域．
（2）當a=1，c=0時，由 g（x）=sinx+bcosx，且圖象關于x=對稱，求出b的值，可得函數 y=cos（x+），由 x+=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函數的對稱軸方程．
（3）由g（x）圖象上有一個最低點 （，1），求得g（x）=（c-1）sin（x-）+c．再由函數圖象的變換規律求得f（x）=（c-1）sinx+c．由題意可得，直線y=3要么過f（x）的最高點或最低點，或過f（x）的對稱中心．分別求出c的值，再檢驗得出結論．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的對稱性，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．