Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，短軸兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；

（2）若分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結，交橢圓于點，證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由題意知，，，由此可知橢圓方程為；（2）設，則直線：，代入橢圓方程，得，然后利用根與系數的關系能夠推導出為定值；（3）設存在滿足條件，則，直線的斜率，直線的斜率，再由，由此可知存在滿足條件．

試題解析：（1），∴橢圓方程為：．

（2）∵，∴設，則直線的方程為：，

，

解設：或（舍去），

，∴，從而，

∴．

（3）設，若以為直徑的圓過與的交點即直線，

直線的斜率，直線的斜率，

所以，即，

∴，即．