Question

【題目】設為正整數，若兩個項數都不小于的數列，滿足：存在正數，當且時，都有，則稱數列，是“接近的”.已知無窮等比數列滿足，無窮數列的前項和為，，且，.

（1）求數列通項公式；

（2）求證：對任意正整數，數列，是“接近的”；

（3）給定正整數，數列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此時的（均用表示）.（參考數據：）

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）的最小值，此時

【解析】

（1）設等比數列公比為，由，可求得首項和公比，進而求得通項；
（2）只需證明成立，即可得證；
（3）由題設可求得，根據定義進而得到對都成立，再構造函數求解即可．

（1）設等比數列公比為，由得，解得，故.

（2）.

對任意正整數，當，且時，有，

則，即成立，

故對任意正整數，數列，是“接近的”.

（3）由，得到，且，

從而，于是.

當時，，，解得，

當時，，又，

整理得，所以，因此數列為等差數列.

又因為，，則數列的公差為1，故.

根據條件，對于給定正整數，當且時，都有

成立，

即①對都成立.

考察函數，，令，

則，當時，，所以在上是增函數.

又因為，所以當時，，即，

所以在上是增函數.

注意到，，，，

故當時，的最大值為，

的最小值為.

欲使滿足①的實數存在，必有，即，

因此的最小值，此時.