Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當時，令，其導函數為，設是函數的兩個零點，判斷是否為的零點？并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，在上單調遞增；當時，在單調遞增，在上單調遞減. （Ⅱ）不是，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，對分分類討論，得出導函數的正負，從而得函數的單調性；

（Ⅱ）當時，得. 由，是函數的兩個零點，不妨設，可得 ，兩式相減可得： ， 再.

則. 設，，令，. 研究函數在上是増 函數，得，可得證.

（Ⅰ）依題意知函數的定義域為，且 ,

（1）當時， ，所以在上單調遞增.

（2）當時，由得：，

則當時；當時.

所以在單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時，在上單調遞增；

當 時， 在單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）不是導函數的零點. 證明如下：

當時，.

∵，是函數的兩個零點，不妨設，

，兩式相減得：

即： ， 又.

則.

設，∵，∴，

令，.

又，∴，∴在上是増 函數，

則，即當時，，從而，/span>

又所以，

故，所以不是導函數的零點.