Question

若（1-3x）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），則

a1

4

+

a2

42

+…+

a2010

42010

=

(

1

4

)2010-1

．

Answer 1

分析：由題意求得 a₀ 是（1-3x）²⁰¹⁰ 的展開式中的常數(shù)項，a₀=1，且 a_n 是展開式中xⁿ 的系數(shù)，可得 a₀、

a1

4

， 

a2

42

， …，

a2010

42010

是(1-

3

4

x )2010 的展開式中各項的系數(shù)，
故有

a1

4

+

a2

42

+…+

a2010

42010

=(1-

3

4

)2010-a₀，運算求得結果．

解答：解：由（1-3x）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），可得 a₀ 是（1-3x）²⁰¹⁰ 的展開式中的常數(shù)項，故 a₀=1．
且 a_n 是展開式中xⁿ 的系數(shù)，
∴a₀，

a1

4

， 

a2

42

， …，

a2010

42010

 是(1-

3

4

x )2010 的展開式中各項的系數(shù)，
∴

a1

4

+

a2

42

+…+

a2010

42010

=(1-

3

4

)2010-a₀=(

1

4

)2010-1．
故答案為 (

1

4

)2010-1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，求展開式中某項的系數(shù)，求得a₀、

a1

4

， 

a2

42

， …，

a2010

42010

是(1-

3

4

x )2010 的展開式中各項的系數(shù)，是解題的關鍵．