Question

在中，已知，又的面積等于6.
（Ⅰ）求的三邊之長；
（Ⅱ）設(shè)是（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，到三邊的距離分別為，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）三邊長分別為3，4，5.（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）對(duì)條件，由正弦定理和余弦定理可以轉(zhuǎn)化為只含邊的等式，這個(gè)等式
化簡(jiǎn)后為，由此得 ，所以.再根據(jù)三角形的面積等于6可得BC＝4，由勾股定理可得AB＝5.
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則由點(diǎn)到直線的距離公式可將用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后用線性規(guī)劃可求出其取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）法一、設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a, b, c，
∵，∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，∴，即，
所以為Rt，且           3分
所以 
又，由勾股定理可得AB＝5       6分
法二、設(shè)三角形三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊分別為a, b, c，
∵，∴，由正弦定理有,
又由余弦定理有，∴，即，
所以為Rt，且           3分
又
（1）÷（2），得          4分
令a="4k," b="3k" (k>0)
則∴三邊長分別為3，4，5     6分
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則A、B坐標(biāo)為（3，0），（0，4），直線AB方程為
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x, y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁, d₂和d₃可知
，          8分
且故       10分
令，由線性規(guī)劃知識(shí)可知0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是  12分