Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使得f（cos2θ-7）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），對一切θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：由奇函數(shù)的性質(zhì)及已知可得f（cos2θ-7）＞f（2mcosθ-4m），結(jié)合f（x）在R上單調(diào)遞增可得cos2θ-7＞2mcosθ-4m，即cosθ+2＞m恒成立，只要求cosθ+2的最小值即可

解答：解：∵奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽
∴f（0）=0
∵f（cos2θ-7）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）
∴f（cos2θ-7）＞f（2mcosθ-4m）恒成立
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增
∴cos2θ-7＞2mcosθ-4m----（6分）
∴2cos²θ-8＞2mcosθ-4m
即cosθ+2＞m恒成立
∵0≤cosθ≤1
∴2≤2+cosθ≤3
∴m＜2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、奇函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用．